第 1—2 章 期中冲刺讲义

PART 00考前速记：进考场前 15 分钟只看这一页

CHAPTER 01函数、极限与连续

本章是整本书的地基，期中占比通常 40%—50%。核心只有一件事：会算各种极限；其次是连续性与间断点分类。

1.1 考点地图

1.2 知识点精讲

1.2.1 函数：先解决定义域

求定义域就是列不等式组，把「不允许」的条件全部写出来再求交集：

四个典型例子（考试最常出现的四种结构）

1.2.2 极限的定义与性质（重理解、轻计算）

数列极限：\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\) 指 \(n\) 足够大后 \(x_n\) 无限接近 \(a\)。函数极限分六种趋近方式：\(x\to x_0,\ x\to x_0^\pm,\ x\to\infty,\ x\to\pm\infty\)。

这条等价关系是「分段函数」「绝对值」「\(e^{1/x}\)」类题目的总开关。

常用性质（都是选择题的素材）：

• 唯一性：极限存在则唯一。
• 局部有界性：极限存在 ⟹ 在该点某去心邻域内有界。
• 局部保号性：\(\lim f(x)=A>0\) ⟹ 该点附近 \(f(x)>0\)。
• 极限只与 \(x_0\) 去心邻域内函数值有关，与 \(f(x_0)\) 本身无关 —— 这正是「可去间断点」存在的原因。

1.2.3 极限的计算：五大套路

所有求极限题，第一步都是判断类型：先代入，看是「确定型」还是「未定式」。确定型（如 \(\frac{2}{3}\)、\(\frac{1}{0^+}\)）直接得结果；未定式才需要变形。

先看这张「对号入座」表：看到什么信号，用什么方法

套路一：直接代入（初等函数在定义区间内连续）
\(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+3}{x+2}=\dfrac{4}{3}\)。这是最快的，但前提是分母不为 0。

套路二：\(\dfrac{0}{0}\) 型 —— 约去零因子
核心动作是因式分解：分子分母都含 \((x-x_0)\)，约掉即可。

套路三：\(\dfrac{0}{0}\) 型 —— 有理化
见到根号差（\(\sqrt{\ }-\sqrt{\ }\) 或 \(\sqrt{\ }-c\)），分子分母同乘共轭式。

套路四：\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型 —— 抓大头
分子分母同除以最高次幂。有理分式的结论可以直接背：

含根号的 \(\infty-\infty\) 型先有理化，再按上面的规则处理。

套路五：等价无穷小替换（\(\frac00\) 型的加速器）
把复杂因子换成简单的幂函数，一步到位。常用替换见开头速记卡，再加两个常用的：

1.2.4 两个重要极限

重要极限 I（解决三角函数的 \(\frac00\) 型）：

方框可以是任何趋于 0 的表达式。用法要点：凑出分母与 \(\sin\) 内完全一致的同一个方框。

重要极限 II（解决 \(1^\infty\) 型）：

标准形式是「\(1+\frac{1}{\square}\)」的「\(\square\) 次方」。遇到 \(1^\infty\) 型，最稳的写法是：

1.2.5 无穷小与无穷大

以 0 为极限的变量叫无穷小；绝对值无限增大的叫无穷大（注意：无穷大不是数，它描述的是「极限不存在但有一致趋势」）。两者互为倒数关系。

最有用的性质：有界函数 × 无穷小 = 无穷小。所以 \(\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0\)、\(\lim\limits_{x\to0}x\arctan\dfrac1x=0\) 都秒杀。

无穷小的比较（设 \(\alpha,\beta\) 都是无穷小，且 \(\alpha\neq0\)）：

1.2.6 函数的连续性

连续的定义是三件事同时成立：① \(f(x_0)\) 有定义；② \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在；③ 二者相等。

间断点分类（先算左右极限，再看差在哪）：

闭区间上连续函数的四大性质（证明题的唯一武器）：

• 有界性与最值性：\(f\in C[a,b]\) ⟹ 有界、能取到最大值最小值。
• 介值定理：\(f\in C[a,b]\)，则 \(f\) 取遍 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的一切值。
• 零点定理：\(f\in C[a,b]\) 且 \(f(a)\cdot f(b)<0\) ⟹ 存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f(\xi)=0\)。

1.3 典型例题精讲

1.4 自测（先做完再展开答案）

1. \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2}\)
2. \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^3-x+5}{5x^3+2x^2}\)
3. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}\)
4. \(\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}\)
5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}\)
6. 当 \(x\to0\) 时，\(1-\cos x\) 是 \(x\) 的几阶无穷小？
7. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) 在 \(x=0\) 是什么间断点？
8. 设 \(f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos x}{x^2},&x\neq0\\ a,&x=0\end{cases}\) 在 \(x=0\) 连续，求 \(a\)。
9. 证明 \(x^3-4x^2+1=0\) 在 \((0,1)\) 内有根。
10. \(\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\dfrac1x\)

CHAPTER 02导数与微分

本章是纯计算章，期中分值大且必须拿满分。复习顺序：定义 → 公式表 → 复合 → 隐函数/参数方程 → 高阶 → 微分。

2.1 考点地图

2.2 知识点精讲

2.2.1 导数的定义（一切的起点）

两种写法等价，考试时挑好算的用。由定义可直接得到三点常识：

• 导数就是瞬时变化率（速度、边际成本、人口增长率都是它）。
• 几何上是切线斜率：\(k=f'(x_0)\)。
• 「可导」意味着左右导数存在且相等：\(f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\)。

2.2.2 可导与连续的关系

经典反例：\(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 连续，但 \(f'_-(0)=-1\neq f'_+(0)=1\)，故不可导（几何上是一个尖角，没有唯一切线）。

2.2.3 求导公式表（必须背到条件反射）

四则法则：

复合函数（链式法则）——本章最重要的一条，由外向内，逐层剥：

三层嵌套就乘三层导数，一个都不能漏。反函数求导：\(f'(x)=\dfrac{1}{\varphi'(y)}\)，其中 \(y=f(x)\) 与 \(x=\varphi(y)\) 互为反函数。

拿到一个函数，先对着这张表判断用哪套打法

2.2.4 隐函数、幂指函数、参数方程

隐函数求导：方程两边同时对 \(x\) 求导，把 \(y\) 看成 \(x\) 的函数（所以 \(y^2\) 求导得 \(2yy'\)），最后解出 \(y'\)。求某点导数值时，先把该点坐标代进去，能大幅简化。

对数求导法：适用于 ① 幂指函数 \(u(x)^{v(x)}\)；② 很多因子连乘除。做法是两边取对数再求导：

参数方程求导：设 \(x=x(t),\ y=y(t)\)，则

二阶导要再对 \(t\) 求一次导，然后除以 \(x'_t\)：

高阶导数：\(f''=(f')'\)。几个必背的 \(n\) 阶导公式：

2.2.5 微分

若 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)，则称 \(f\) 可微，且 \(\mathrm{d}y=A\,\mathrm{d}x=f'(x)\mathrm{d}x\)。一元函数里：

几何意义：\(\mathrm{d}y\) 是切线上的纵坐标增量，\(\Delta y\) 是曲线上的纵坐标增量，两者之差是 \(o(\Delta x)\)。

近似计算（应用题的常见形式）：当 \(|\Delta x|\) 很小时

三个常考的近似式（\(x\) 很小时）：\(\sqrt{1+x}\approx1+\frac x2\)，\(e^x\approx1+x\)，\(\ln(1+x)\approx x\)，\(\arctan x\approx x\)。

相关变化率：两个量都由时间 \(t\) 驱动，先写出几何/物理关系式，再两边对 \(t\) 求导，把已知的变化率代进去求未知的。

2.3 典型例题精讲

2.4 自测（先做完再展开答案）

1. \(y=\sin^2(3x)\)，求 \(y'\)。
2. \(y=\dfrac{\ln x}{x}\)，求 \(y'\) 及 \(x=1\) 处的切线方程。
3. \(y=\left(1+x^2\right)^{\arctan x}\)，求 \(y'\)。
4. \(x^2+y^2-2x+4y=0\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。
5. \(\begin{cases}x=e^t\cos t\\ y=e^t\sin t\end{cases}\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。
6. 上题中求 \(\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=0}\)。
7. \(y=xe^{-x}\)，求 \(y''\)。
8. \(y=\ln(1+x)\)，写出 \(y^{(n)}\)（\(n\geq1\)）。
9. 用微分近似计算 \(\sqrt{1.02}\)。
10. \(f(x)=|x|\sin x\) 在 \(x=0\) 是否可导？说明理由。

APPENDIX AMATLAB 求极限与求导速查（对应 1.7、2.5 节）

期中很少让你写完整程序，但常以填空/选择出现：「求 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) 的 MATLAB 命令是____」。记住这三条就够。

PART 03题型速查表：看到什么，用哪招，看哪道例题

这是全书最该反复看的一页。考场上没时间「想方法」，你需要的是一眼认出题型，然后直接调出对应套路。

极限与连续（第 1 章）

导数与微分（第 2 章）

PART 04易错清单：这些坑年年有人踩

1. 四则运算的前提：\(\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g\) 只在两个极限都存在时成立。\(\lim(\sin x-\cos x)\) 在 \(x\to\infty\) 不能拆。
2. 加减法乱用等价替换：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\)，若把分子两项都换成 \(x\) 得 0，错；正确答案是 \(\frac12\)。
3. 把 \(1^\infty\) 当 1：\(\lim\left(1+\frac1n\right)^n=e\)，不是 1。见到底数趋 1、指数趋 \(\infty\)，立刻用 \(e^{\lim v(u-1)}\)。
4. 「分母趋 0 极限存在 ⟹ 分子趋 0」这条要会用，反过来也成立（分子趋 0 且极限存在非零 ⟹ 分母趋 0 要小心验证）。
5. 可导与连续方向搞反：连续推不出可导，\(|x|\) 就是反例。
6. 分段点求导不用定义：分界点两侧表达式不同，必须用定义（或左右导数）算，直接套公式会错。
7. 参数方程二阶导：不是 \(y''/x''\)，见前文公式。
8. 幂指函数：\(x^x\) 不是幂函数，不能套 \(x^{x-1}\)。
9. \(\mathrm{d}y\) 与 \(\Delta y\) 混用：\(\mathrm{d}y\) 是线性主部，近似时才说「\(\Delta y\approx\mathrm{d}y\)」。
10. 求切线忘验点：给的「点」可能不在曲线上，此时应设切点 \((x_0,f(x_0))\) 求解，而不是直接代入。
11. 隐函数求导时漏乘 \(y'\)：对 \(y^2\)、\(e^y\)、\(\sin y\) 求导，尾巴上必须有 \(y'\)。
12. \(\arcsin x\) 的定义域：\(|x|<1\)，端点处导数不存在（趋于无穷）。

PART 05期中模拟卷（100 分 / 90 分钟）

范围：第 1—2 章。建议掐表做完再看答案，做完把错题号记下来，回 PART 03 查对应题型。

一、填空题（每题 4 分，共 20 分）

1. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos 2x}{x^{2}}=\) ________
2. \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{x}=\) ________
3. 设 \(y=x^{2}e^{x}\)，则 \(y'(1)=\) ________
4. 设 \(f(x)=x|x|\)，则 \(f'(0)=\) ________
5. \(\mathrm{d}\left(\sqrt{x}\right)\Big|_{x=4}=\) ________ \(\mathrm{d}x\)

二、选择题（每题 4 分，共 20 分）

6. 当 \(x\to0\) 时，\(x-\sin x\) 是 \(x^{2}\) 的（　　）
   A. 高阶无穷小　B. 同阶无穷小　C. 低阶无穷小　D. 等价无穷小
7. 函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导的（　　）
   A. 充分条件　B. 必要条件　C. 充要条件　D. 无关条件
8. 设 \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=2\)，且 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续，则 \(f(0)=\)（　　）
   A. 0　B. 2　C. 不存在　D. 无法确定
9. 函数 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处（　　）
   A. 可导　B. 连续但不可导　C. 不连续　D. 无定义
10. 设参数方程 \(\begin{cases}x=t^{2}\\ y=t^{3}\end{cases}\)，则 \(\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\)（　　）
    A. \(\dfrac{3}{4t}\)　B. \(\dfrac32\)　C. \(\dfrac{3t}{2}\)　D. \(\dfrac{3}{2t}\)

三、计算题（每题 8 分，共 48 分）

11. 求 \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\)
12. 求 \(\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1x-\dfrac{1}{e^{x}-1}\right)\)
13. 设 \(y=\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\)，求 \(y'\)
14. 求曲线 \(x^{2}+xy+y^{2}=3\) 在点 \((1,1)\) 处的切线方程
15. 设 \(\begin{cases}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{cases}\)，求 \(\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\)
16. 设 \(f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\dfrac1x,& x\neq0\\ 0,& x=0\end{cases}\)，讨论 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处的可导性

四、证明题（每题 6 分，共 12 分）

17. 证明方程 \(x^{3}-3x+1=0\) 在 \((0,1)\) 内至少有一个实根。
18. 证明：当 \(x>0\) 时，\(\ln(1+x)>x-\dfrac{x^{2}}{2}\)。

PART 06自查清单与复习节奏

6.1 能力自查（能独立做出才打勾）

• 能默写 16 个基本求导公式，且 \(\sin/\cos\)、\(\arcsin/\arccos\) 的负号不出错
• 见到 \(\frac00\) 型能立刻判断用「约分、有理化、等价替换」中的哪一种
• \(\frac\infty\infty\) 型抓大头 3 秒出结果，含根号的会先有理化
• 能把任意 \(1^\infty\) 型极限写成 \(e^{\lim v(u-1)}\) 并算对指数
• 会用「有界 × 无穷小 = 无穷小」秒杀 \(x\sin\frac1x\) 这类题
• 能背出 8 个常用等价无穷小，并知道加减法不能直接换
• 分段函数连续性求参数：左右极限 + 函数值三件套不遗漏
• 能对任意间断点贴出「第一类/第二类 + 可去/跳跃/无穷/振荡」的完整标签
• 零点定理证明题能写出完整四步，不漏「连续」这一句
• 抽象函数极限 \(\lim\frac{f(x_0+ah)-f(x_0-bh)}{h}\) 能一步写出 \((a+b)f'(x_0)\)
• 多层复合（三层以上）求导不漏层、不漏负号
• 隐函数求导会先代点再解 \(y'\)，尾巴上的 \(y'\) 不丢
• 幂指函数一定用对数求导法，不套错公式
• 参数方程二阶导公式能默写，且知道为什么不是 \(y''/x''\)
• 会写切线、法线方程，且会处理「点不在曲线上」的情况
• 微分近似能选对 \(x_0\)，算出 \(\sqrt{1.02}\)、\(\arctan 1.02\) 这类结果
• 会先判断「点是否在曲线上」，不在曲线上能设切点 \((a,f(a))\) 求切线
• 隐函数求二阶导：先求一阶，再对式子两边求导，最后把 \(y'\) 代回去

勾选状态会保存在本机浏览器里，下次打开还在。

6.2 还剩两天：按小时排给你